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本帖最后由 山色空蒙 于 2017-10-11 20:48 编辑
从一幅照片所想到的
在网上，看到一幅照片，很感人，故转来与老友共享。
人老了，生活上会有很多不便，需要人来帮助，时时处处，都靠儿女不现实，有个老来伴就方便多了，相互帮助的功能，不仅方便了生活，在精神上是莫大的抚慰，这样的功能是任何人都代替不了的。
修面
“抬起下巴，放松点
我会轻轻给你刮”
也许 大妈会
温柔地对大爷说
大爷超然地仰起头
大妈小心翼翼地刮
一刮 二刮……
刮出溫馨和幸福
一幅修面图
火爆多少眼球
年轻相伴度风雨
老来整整洁洁相伴度晚年……
一个简单但很奇怪的数学问题
我们知道 1÷3=3分之1 1÷3=0.3333333……
3分之1*3=1 0.3333……*3=0.99999……
那0.999999……=1 吗
虽然0.999……是无限的小数，但终究不等于1啊
能解释一下不？
在完备的实数系中，循环小数0.999...，也可写成数学、数学或数学，表示一个等于1的实数。也就是说，“0.999...”所表示的数与“1”相同。长期以来，该等式被职业数学家所接受，并在教科书中讲授。
简介
0.999...是一个小数系统中的数，一些最简单的0.999...=1的证明都依赖于这个系统方便的算术性质。大部分的小数算术——加法、减法、乘法、除法，以及大小的比较，操作方法都与整数差不多。与整数一样，任何两个有限小数只要数字不同，那么数值也一定不同。特别地，任何一个形为0.99...4的数，其中只有有限个9，都是严格小于1的。
误解0.999...中的“...”（省略号）的意义，是对0.999...=1的误解的其中一个原因。这里省略号的用法与日常语言和0.99...9中的用法是不同的，0.99...9中的省略号意味着有限的部分被省略掉了。但是，当用来表示一个循环小数的时候，“...”则意味着无限的部分被省略掉了，这只能用极限的数学概念来阐释。这样，“0.999...”所表示的实数，是收敛数列（0.9，0.99，0.999，0.9999，...）的极限。“0.999...”是一个数列的极限，从这方面讲，对于0.999...=1这个等式就很直观了。
与整数和有限小数的情况不一样，一个数也可以用许多种其它的方法来表示。例如，如果使用分数，1⁄3=2⁄6。但是，一个数最多只能用两种无限小数的方法来表示。如果有两种方法，那么一种一定含有无穷多个9，而另外一种则一定从某一位开始就全是零。
0.999...=1有许多证明，它们各有不同的严密性。一个严密的证明可以简单地说明如下。考虑到两个实数是相等的，当且仅当它们的差等于零。大部分人都同意，0.999...与0的差，就算存在也是非常的小（趋近零）。考虑到以上的收敛数列，我们可以证明这个差一定是小于任何一个正数的，也可以证明（详细内容参见阿基米德原理），唯一具有这个性质的实数是零。由于差是零，可知1和0.999...是相等的。用相同的理由，也可以解释为什么 0.333...=1⁄3，0.111...=1⁄9，等等。
证明
推想
0.999...是否为1？若使用减法直式计算（小数点后只列出五位，五位后省略）：
1.00000
— 0.99999
——————
0.00000
结果为0.000...，也就是0.0有限循环。因为小数点后五位之后还会一直填上0，始终无法找到最后一位来填上1。1.(0)-0.(9)=0.(0)，故1=0.(9)。
分数
无限小数是有限小数的一个必要的延伸，其中一个原因是用来表示分数。用长除法，一个像1⁄3的简单整数除法便变成了一个循环小数，0.333...，其中有无穷多个数字3。利用这个小数，很快就能得到一个0.999...=1的证明。用3乘以 0.333...中的每一个3，便得到9，所以3×0.333...等于0.999...。而3×1⁄3等于1，所以0.999...=1。
这个证明的另外一种形式，是用1/9=0.101...乘以8。数学
小数
一个更加早期的形式，是基于以下的方程：数学
由于两个方程都是正确的，因此根据相等关系的传递性质，0.999...一定等于1。类似地，2/2=1，且2/2=0.999...。所以，0.999...一定等于2。
位数操作
另外一种证明更加适用于其它循环小数。当一个小数乘以10时，其数字不变，但小数点向右移了一位。因此10×0.999...等于9.999...，它比原来的数大9。
考虑从9.999...减去0.999...。我们可以一位一位地减；在小数点后的每一位，结果都是9-9，也就是0。两者小数点后的数目均为0.999...故可互消，结果为小数点后为零。最后一个步骤用到了代数。设0.999...=c，则10c−c=9，也就是9c=9。等式两端除以9，便得证：d=1。用一系列方程来表示，就是数学
以上两个证明中的位数操作的正确性，并不需要盲目相信，也无需视为公理；它是从小数和所表示的数之间的基本关系得出的。这个关系，可以用几个等价的方法来表示，已经规定了0.999...和1.000...都表示相同的数。
实数分析
由于0.999...的问题并不影响数学的正式发展，因此我们可以暂缓进行研究，直到证明了实数分析的标准定理为止。其中一个要求，是要刻划所有能表示成小数的实数的特征，由一个可选择的符号、构成整数部分的有限个数字、一个小数点，以及构成小数部分的一系列数字组成。为了讨论0.999...的目的，我们可以把整数部分概括为b0，并可以忽略负号，这样小数展开式就具有如下的形式：数学
小数部分与整数部分不一样，整数部分只能有有限个数字，而小数部分则可以有无穷多个数字。这一点是至关重要的。这是一个进位制，所以400中的4是50中的4的十倍，而0.05中的5则是0.5中的5的十分之一。
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发表于 2017-10-11 19:34
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